Метод Флетчера Ривса Программа

Метод сопряженных градиентов — математический аппарат. Термин . Дело в том, что, за исключением частного и не представляющего практического интереса случая, градиенты не являются сопряженными, а сопряженные направления не имеют ничего общего с градиентами. Название метода отражает тот факт, что данный метод отыскания безусловного экстремума сочетает в себе понятия градиента целевой функции и сопряженных направлений. Несколько слов об обозначениях, используемых далее. Скалярное произведение двух векторов записывается $x^Ty$ и представляет сумму скаляров: $\sum.

Учебно-методические материалы по программе повышения квалификации. Метод сопряженных градиентов Флетчера–Ривса. Программа представляет собой базу данных музыкальных альбомов. Можно хранить / добавлять. Также выводятся сама . Название работы: Метод Флетчера-Ривса. Текст программы, выполненной в системе Wolfram Mathematica.

Заметим, что $x^Ty = y^Tx$. Если x и y ортогональны, то $x^Ty = 0$. В общем, выражения, которые преобразуются к матрице 1х. Ty$ и $x^TA. Решение этой системы эквивалентно нахождению минимума соответствующей квадратичной формы. Квадратичная форма – это просто скаляр, квадратичная функция некого вектора x следующего вида: $f\,(x) = (\frac.

Например, матрица А называется положительно- определенной, если для любого ненулевого вектора x справедливо следующее: $x^TA. Причем, метод сопряженных градиентов сделает это за n или менее шагов, где n – размерность неизвестного вектора x. Так как любая гладкая функция в окрестностях точки своего минимума хорошо аппроксимируется квадратичной, этот же метод можно применить для минимизации и неквадратичных функций. При этом метод перестает быть конечным, а становится итеративным.

Метод сопряженных градиентов — метод нахождения локального экстремума функции на.

Метод Флетчера Ривса Программа

А.Г.Трифонов. Алгоритм метода сопряженных градиентов Флетчера-Ривса состоит в . Метод Флетчера-Ривса сходится, если начальная точка достаточно близка к требуемому минимуму, тогда как метод Полака-Райбера может в редких . Метод Флетчера-Ривса (Метод сопряженных градиентов). Также реализован вариант Миля-Кентрелла. Решение онлайн с оформлением в Word. Подробные примеры решения методом Флетчера-Ривса и методом сопряженных градиентов. Имеется возможность решения онлайн с оформлением .

Рассмотрение метода сопряженных градиентов целесообразно начать с рассмотрения более простого метода поиска экстремума функции – метода наискорейшего спуска. На рисунке 2 изображена траектория движения в точку минимума методом наискорейшего спуска. Суть этого метода: в начальной точке x(0) вычисляется градиент, и движение осуществляется в направлении антиградиента до тех пор, пока уменьшается целевая функция; в точке, где функция перестает уменьшаться, опять вычисляется градиент, и спуск продолжается в новом направлении; процесс повторяется до достижения точки минимума. В данном случае каждое новое направление движения ортогонально предыдущему. Не существует ли более разумного способа выбора нового направления движения?

Существует, и он называется метод сопряженных направлений. А метод сопряженных градиентов как раз относится к группе методов сопряженных направлений.

На рисунке 3 изображена траектория движения в точку минимума при использовании метода сопряженных градиентов. Бесплатные Игры На Ноутбук Скачать Без Регистрации И Смс. Определение сопряженности формулируется следующим образом: два вектора x и y называют А- сопряженными (или сопряженными по отношению к матрице А) или А–ортогональными, если скалярное произведение x и Ay равно нулю, то есть: $x^TA. Действительно, когда матрица А – единичная матрица, в соответствии с равенством 4, векторы x и y – ортогональны. Можно и иначе продемонстрировать взаимосвязь понятий ортогональности и сопряженности: мысленно растяните рисунок 3 таким образом, чтобы линии равного уровня из эллипсов превратились в окружности, при этом сопряженные направления станут просто ортогональными.

Остается выяснить, каким образом вычислять сопряженные направления. Один из возможных способов – использовать методы линейной алгебры, в частности, процесс ортогонализации Грамма–Шмидта. Но для этого необходимо знать матрицу А, поэтому для большинства задач (например, обучение многослойных нейросетей) этот метод не годится. К счастью, существуют другие, итеративные способы вычисления сопряженного направления, самый известный – формула Флетчера- Ривса: $d. Направления, вычисленные по формуле 5, оказываются сопряженными, если минимизируемая функция задана в форме 2. То есть для квадратичных функций метод сопряженных градиентов находит минимум за n шагов (n – размерность пространства поиска).

Для функций общего вида алгоритм перестает быть конечным и становится итеративным. При этом, Флетчер и Ривс предлагают возобновлять алгоритмическую процедуру через каждые n + 1 шагов. Можно привести еще одну формулу для определения сопряженного направления, формула Полака–Райбера (Polak- Ribiere): $\beta. Однако последний часто сходится быстрее первого метода. К счастью, сходимость метода Полака- Райбера может быть гарантирована выбором $\beta = \max \. Это эквивалентно рестарту алгорима по условию $\beta \leq 0$. Рестарт алгоритмической процедуры необходим, чтобы забыть последнее направление поиска и стартовать алгоритм заново в направлении скорейшего спуска.

Далее приведен алгоритм сопряженных градиентов для минимизации функций общего вида (неквадратичных). Вычисляется антиградиент в произвольной точке x(0). Чтобы осуществить рестарт алгоритма, то есть забыть последнее направление поиска и стартовать алгоритм заново в направлении скорейшего спуска, для формулы Флетчера–Ривса присваивается 0 через каждые n + 1 шагов, для формулы Полака- Райбера – $\beta. Для этого, в частности, можно воспользоваться методом Фибоначчи, методом золотого сечения или методом бисекций. Более быструю сходимость обеспечивает метод Ньютона–Рафсона, но для этого необходимо иметь возможность вычисления матрицы Гессе. В последнем случае, переменная, по которой осуществляется оптимизация, вычисляется на каждом шаге итерации по формуле: $$a = - \,\frac. В этом случае используется обучение по эпохам, то есть при вычислении целевой функции предъявляются все шаблоны обучающего множества и вычисляется средний квадрат функции ошибки (или некая ее модификация).

То же самое – при вычислении градиента, то есть используется суммарный градиент по всему обучающему набору. Градиент для каждого примера вычисляется с использованием алгоритма обратного распространения (Back. Prop). В заключение приведем один из возможных алгоритмов программной реализации метода сопряженных градиентов. Сопряженность в данном случае вычисляется по формуле Флетчера–Ривса, а для одномерной оптимизации используется один из вышеперечисленных методов. По мнению некоторых авторитетных специалистов скорость сходимости алгоритма мало зависит от оптимизационной формулы, применяемой на шаге 2 приведенного выше алгоритма, поэтому можно рекомендовать, например, метод золотого сечения, который не требует вычисления производных. Вариант метода сопряженных направлений, использующий формулу Флетчера- Ривса для расчета сопряженных направлений. Sigmanew : = r. T * r// квадрат модуля антиградиента.

Sigma. 0 : = Sigmanew// Цикл поиска (выход по счетчику или ошибке)while i < imax and Sigmanew > Eps. Sigma. 0beginj : = 0. Sigmad : = d. T * d// Цикл одномерной минимизации (спуск по направлению d)repeata : = x : = x + aj : = j + 1until (j > = jmax) or (a.

Sigmad < = Eps. Sigmaold : = Sigmanew. Sigmanew : = r. T * rbeta : = Sigmanew / Sigmaoldd : = r + beta * d// Вычисление сопряженного направленияk : = k + 1if (k = n) or (r. T * d < = 0) then // Рестарт алгоритмаbegind : = rk : = 0endi : = i + 1end. Метод сопряженных градиентов является методом первого порядка, в то же время скорость его сходимости квадратична. Этим он выгодно отличается от обычных градиентных методов. Например, метод наискорейшего спуска и метод координатного спуска для квадратичной функции сходятся лишь в пределе, в то время как метод сопряженных градиентов оптимизирует квадратичную функцию за конечное число итераций.

При оптимизации функций общего вида, метод сопряженных направлений сходится в 4- 5 раз быстрее метода наискорейшего спуска. При этом, в отличие от методов второго порядка, не требуется трудоемких вычислений вторых частных производных. Литература Н. Н. Моисеев, Ю. П. Иванилов, Е. М. Столярова . Наука, 1.

А. Фиакко, Г. Мак- Кормик . Мир, 1. 97. 2У. И. Зангвилл . Советское радио, 1. Jonathan Richard Shewchuk.